Croire ou savoir 21

Mise en garde/mise au point

Malgré les propos parfois réducteurs que je semble tenir, je ne crois pas, objectivement, qu'une thèse, une théorie ni même une doctrine soit réductible à un ensemble d'énoncés glanés plus ou moins au hasard, presque toujours indirectement, souvent rapportés tronqués ou déformés par complaisance, malice ou ignorance.

Par contre, je sais qu'une théorie comme faisceau d'hypothèses (c'est le mot qu'on y associe, un peu facho) est réductible à l'expression la plus simple de celles-ci. Ce principe ne s'étend cependant plus à une science, s'il a jamais pu le faire, qui consiste en un système de systèmes dont, de nos jours, un seul individu n'est plus à même de rendre compte.

Je ne me proposais pas de faire l'économie de la pensée, ce qui constituerait effectivement une antinomie pour l'intelligence.


Mathématiquement ou humainement inerte ?

Le passage exact se lit: «Selon l'école mathématique dite formaliste, la «pensée» mathématique n'a d'existence que dans les systèmes d'écritures qui la manifestent: ce qui implique, d'une part, que les «objets» ne sont pas des «réalités en soi» et, d'autre part, que le contenu de conscience qui s'attache à eux (les objets), les intuitions, qui accompagnent les maniements de symboles et qui sont propres à chaque mathématicien [moi: idiosyncrasies], sont mathématiquement inertes (élimination sans compromis de tout psychologisme, de tout mentalisme: la tradition frégienne est respectée).» Jean-Toussaint Desanti, p. 718.*1

Hors du champ propre aux mathématiques, toute référence à la discipline ou à ses objets et ses outils, surtout en langage courant devient «naïve» ou «intuitive», mots que j'emploie moi-même,*2 mais il existe une autre manière d'en parler en adoptant la formule «formulation extramathématique» sur laquelle je suis tombé en furetant dans Omnis.

L'explication que donne ainsi ce dictionnaire du Paradoxe de Russell (1902) est «mathématiquement inerte», au sens (supposons) d'inactivité/réactivité mathématique.

Soit: «Un barbier rase toutes les personnes ne se rasant pas elles-mêmes et elles seulement. Ce barbier se rase-t-il lui-même?»

Il est intéressant de voir de l'extérieur comment les mathématiciens se tirent d'affaire quand quelque chose ne marche pas. Je donne l'exemple concernant la théorie des ensembles, celle que je connais le moins mal pour un non-initié (à cause de Venn). Pour le Paradoxe de Russell, on a recourt à l'axiomatisation, soit, en langue vulgaire: on définit implicitement les notions d'ensemble et d'élément en se bornant à énoncer leurs relations.

Implicitement? Les cinq sens (sans blague) du sémanticien sont en éveil.

En effet, la théorie, semble-t-il, ne devant supposer que ces relations et renoncer à emprunter quoi que ce soit aux représentations naïves suggérées par les notions d'ensemble et d'élément. (Les détails sont tirés d'Omnis.)

Ici, il est clair qu'on aseptise et que l'humain doit rester «inerte».

Toute plaisanterie à part, vous constaterez que le «mouvement de pensée» consiste ici à faire marche arrière et à retrancher plutôt qu'à rafistoler. Je veux dire que dans ce cas présent, la réaction est celle-ci: comme les définitions sont impossibles, on s'en passera. On en fera l'économie. On ampute le membre malade.

Implicite, c'est-à-dire «sans être formellement exprimé». On admettra que ce genre de procédé participe du tour de passe-passe, en tout cas, dans le monde réel.

R. Daval et G.-Th. Guilbaud*3 notaient que c'était «certainement par crainte d'introduire des éléments psychologiques qu'on s'est senti tenté par une réduction à la logique formelle.»

Duhem*3 aussi était persuadé qu'il fallait effacer de la physique (cette fois) toute trace de «réalisme naïf» (ses propres termes).

Le recours aux relations pour «impliciter» les définitions semble avoir été d'abord préconisé par Charles Renouvier (1815-1903), dans son principe de relativité (rien à voir avec la physique, ici).

Largeault, enfin, s'exprime de façon morale sur la question: «les sciences doivent répudier toute ontologie et s'en tenir aux lois, relations quantitatives constantes.»*4

Dans un premier temps, j'avais (je crois) mal saisi l'application de «l'inertie». C'est pourquoi je démonte l'énoncé ci-dessous. Inerte n'est pas employé au sens physique (-/-> inertiel), mais chimique. On notera en outre qu'aucune acception d'inertie comme nom ne reprend la notion d'inerte comme «absence de réaction entre deux corps». Reste que c'est une métaphore chez l'auteur.

Pour conclure, reprenons analytiquement le passage:

le contenu de conscience |
les intuitions |sont mathématiquement inertes
les idiosyncrasies des mathématiciens|

Parmi les sens proposés par le PR, on retiendra: Au point de vue des mathématiques. Soit: les intuitions, les tics et les états (pardon, contenus) de conscience des mathématiciens ne provoquent aucune réaction mathématique lorsqu'ils sont en contact avec les maniements de symboles, les écritures et la «pensée» mathématiques.

Difficile à croire. Et que penser de la pensée des mêmes?

Maintenant, l'inverse est-il vrai? C'est-à-dire, à titre d'exemple:

les démonstrations mathématiques |
les relations mathématiques |sont humainement inertes
les axiomes mathématiques |

La difficulté réside dans le sens d'humainement: humainement possible, humainement concevable - En l'homme, pour l'homme, du point de vue de l'homme. PR. Mais il semble bien qu'à part les difficultés que rencontrent les mathématiciens rien de tout cela n'a d'effet sur l'homme.

Le bannissement de l'ontologie (de l'être), du naïf, de la psychologie ou du psychologisme, du mentalisme enfin, tient du voeu pieux dans un premier temps et, après examen, de la mascarade ou pis encore de la tromperie.*5

Au fait, si les «objets» ne sont pas des «réalités en soi»: s'agirait-il de catégories a priori?

Une chose est certaine: les métamathématiciens ne sont pas métaphoriquement inertes.


À suivre.

*1 Desanti, Jean Toussaint. 1989. Fondements des Mathématiques. EU Corpus. Vol. 14:713-719.
*2 Même en sémantique, mes formules et ma semi-formalisation rudimentaire (un peu anarchique sinon anarchiste) sont à mes yeux «naïfs» et n'ont qu'un objet: assurer une certaine rigueur, par leur caractère réducteur. Autrement, et c'est normal compte tenu de leur nature, la sémantique et son objet d'étude, le sens et ses conditions sont intrinsèquement rebelles à toute formalisation. Pour employer un terme que je récuse (contenu), mais qui est pratique ici même, on ne peut ni décrire ni expliquer le contenu d'une forme par une autre forme dont le contenu est inexistant et dont l'interprétation est strictement référentielle.
*3 Dans le recueil de Courtès.
*4 Largeault, Jean. Idéalisme. op. cit. p. 892.
*5 Si tel était le cas, le mathématicien travaillerait anonymement et interchangeablement et il n'y aurait nul besoin de médaille Fields. Les mathématiciens seront probablement les derniers idéalistes.